Para un ángulo \(\theta\) medido desde el eje x positivo en sentido antihorario sobre el círculo unitario (radio = 1), las coordenadas del punto de corte con la circunferencia son \((\cos\theta,\;\sin\theta)\).
1. Seno \(\bigl(\sin\theta\bigr)\)
- Definición geométrica: proyección del radio sobre el eje y. En un triángulo rectángulo \(\sin\theta=\dfrac{\text{cateto opuesto}}{\text{hipotenusa}}\).
- Dominio: \(\mathbb R\). Rango: \([-1,1]\).
- Periodo: \(2\pi\). Paridad: función impar \(\bigl(\sin(-\theta)=-\sin\theta\bigr)\).
2. Coseno \(\bigl(\cos\theta\bigr)\)
- Definición geométrica: proyección del radio sobre el eje x. En un triángulo rectángulo \(\cos\theta=\dfrac{\text{cateto adyacente}}{\text{hipotenusa}}\).
- Dominio: \(\mathbb R\). Rango: \([-1,1]\).
- Periodo: \(2\pi\). Paridad: función par \(\bigl(\cos(-\theta)=\cos\theta\bigr)\).
3. Tangente \(\bigl(\tan\theta\bigr)\)
- Definición: razón entre seno y coseno: \(\tan\theta=\dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}\). Geométricamente, es la pendiente de la recta que pasa por el origen y el punto \((1,\tan\theta)\) donde la prolongación del radio corta la tangente vertical al círculo en \(x=1\).
- Dominio: \(\theta\ne\dfrac{\pi}{2}+k\pi\) (donde \(\cos\theta=0\)). Rango: \(\mathbb R\).
- Periodo: \(\pi\). Paridad: función impar.
Relaciones fundamentales
Identidad pitagórica: \(\sin^{2}\theta+\cos^{2}\theta=1\).
Tangente en términos de seno y coseno: \(\tan\theta=\dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}\).
Ángulos complementarios: \(\sin\theta=\cos\left(\dfrac{\pi}{2}-\theta\right)\).
Nota: Todas las propiedades se generalizan a cualquier radio multiplicando por \(R\) las proyecciones; en el círculo unitario \(R=1\), lo que simplifica las expresiones.