Ecuaciones de la Transformada Discreta de Fourier (DFT)
La Transformada Discreta de Fourier de una secuencia de tiempo finita \( x(n) \), con \( n = 0, 1, 2, \ldots, N-1 \), está definida por:
$$ X(k) = \sum_{n=0}^{N-1} x(n) \cdot e^{-j \frac{2\pi}{N} k n} $$
Donde:
- \( X(k) \) es el componente de frecuencia \( k \).
- \( N \) es el número total de puntos en la transformada.
- \( j \) es la unidad imaginaria.
La magnitud de la frecuencia se calcula como:
$$ |X(k)| = \sqrt{\text{Re}(X(k))^2 + \text{Im}(X(k))^2} $$
Cálculo de la Frecuencia
Una vez calculada la DFT, es importante interpretar correctamente las frecuencias correspondientes a cada componente \( X(k) \). La frecuencia asociada a cada índice \( k \) se calcula de la siguiente manera:
$$ f(k) = \frac{k}{N} \cdot f_s $$
Donde:
- \( f(k) \) es la frecuencia correspondiente al índice \( k \).
- \( N \) es el número total de puntos en la transformada.
- \( f_s \) es la frecuencia de muestreo de la señal original.
Frecuencia Normalizada: En muchos casos, especialmente cuando la frecuencia de muestreo \( f_s \) no está especificada, se utiliza la frecuencia normalizada, que se define como:
$$ f(k) = \frac{k}{N} $$
Esta frecuencia está expresada en unidades de ciclos por muestra y es útil para análisis relativos dentro del dominio de la transformada.
Frecuencia Real: Si conoces la frecuencia de muestreo \( f_s \), puedes calcular la frecuencia real en Hertz (Hz) como:
$$ f(k) = \frac{k}{N} \cdot f_s $$
Esta relación te permite mapear los índices de la DFT a frecuencias físicas reales.
Frecuencia de Muestreo de la Señal Original
La frecuencia de muestreo (\( f_s \)) es la tasa a la que se toman muestras de una señal continua en el tiempo para convertirla en una señal discreta. Se mide en Hertz (Hz) y es crucial para garantizar una representación precisa de la señal original en el dominio discreto.
Teorema de Nyquist-Shannon
Para evitar el aliasing y poder reconstruir correctamente la señal original a partir de sus muestras, la frecuencia de muestreo debe ser al menos el doble de la frecuencia máxima presente en la señal. Este requisito se conoce como el Teorema de Nyquist-Shannon.
$$ f_s \geq 2 \cdot f_{\text{max}} $$
Donde:
- \( f_s \) es la frecuencia de muestreo.
- \( f_{\text{max}} \) es la frecuencia máxima presente en la señal original.
Cálculo de la Frecuencia de Muestreo
Para calcular la frecuencia de muestreo (\( f_s \)), sigue estos pasos:
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Identifica la Frecuencia Máxima de la Señal (\( f_{\text{max}} \)):
Analiza la señal original para determinar la frecuencia más alta que contiene. Por ejemplo, en audio, el rango audible para humanos es aproximadamente de 20 Hz a 20,000 Hz.
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Aplica el Teorema de Nyquist-Shannon:
Calcula el doble de la frecuencia máxima identificada.
$$ f_s = 2 \cdot f_{\text{max}} $$
Ejemplo: Si la frecuencia máxima es 5,000 Hz, entonces la frecuencia de muestreo mínima debería ser 10,000 Hz.
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Considera un Factor de Seguridad:
En la práctica, se suele muestrear a una frecuencia ligeramente superior al doble de la frecuencia máxima para asegurar una mejor representación de la señal y facilitar el filtrado de aliasing.
$$ f_s = k \cdot f_{\text{max}} \quad \text{donde} \quad k > 2 $$
Ejemplo: Usar \( k = 2.5 \) o \( k = 3 \).
Frecuencia de Muestreo Normalizada
En muchos análisis, especialmente cuando no se conoce la frecuencia de muestreo real, se utiliza la frecuencia de muestreo normalizada, que es una relación adimensional definida como:
$$ f_s^{\text{norm}} = \frac{f_s}{f_s} = 1 $$
En este caso, las frecuencias se expresan en términos de ciclos por muestra en lugar de Hertz.
Resumen
- La frecuencia de muestreo debe ser al menos el doble de la frecuencia máxima de la señal para evitar aliasing.
- En la práctica, se recomienda una frecuencia de muestreo mayor para mejorar la calidad de la representación.
- La frecuencia de muestreo normalizada es útil cuando no se conoce la frecuencia de muestreo real.
Datos de la serie (separados por coma):