Mapa Dinámico
El Mapa Dinámico permite explorar el comportamiento los sistemas dinámicos: el Mapa de Carpa y el Mapa Logístico. Estos mapas son funciones recurrentes que, dependiendo del parámetro \( r \) y las condiciones iniciales, pueden mostrar una variedad de comportamientos, incluyendo estabilidad, periodicidad y caos.
Mapa de Carpa: Es un tipo de mapa tentacular que divide el intervalo [0,1] en dos partes. Para valores de \( x \) menores que 0.5, la función se comporta linealmente aumentando con la pendiente \( r \). Para valores de \( x \) mayores o iguales a 0.5, la función decrece linealmente. Este mapa es útil para estudiar transiciones entre comportamientos ordenados y caóticos.
Mapa Logístico: Es un modelo matemático clásico que describe el crecimiento poblacional con limitaciones. La ecuación del mapa logístico es \( f(x) = r x (1 - x) \), donde \( x \) representa la población actual normalizada entre 0 y 1, y \( r \) es la tasa de crecimiento. Este mapa exhibe una dinámica variada, incluyendo puntos fijos, ciclos periódicos y caos cuando \( r \) supera ciertos umbrales.
Gráfico Cobweb:
1. Desde \( x_n \), se traza una línea vertical hasta la curva f(x) para encontrar \( f(x_n) \).
2. Desde \( f(x_n) \), se traza una línea horizontal hasta la línea de identidad \( y = x \) para determinar \( x_{n+1} \).
3. Repetir este proceso para visualizar las iteraciones subsecuentes.
Gráfico Cobweb
Evolución de xn
Diagrama de Bifurcación
El Diagrama de Bifurcación es una herramienta visual que representa cómo los puntos fijos y los ciclos periódicos de un sistema dinámico cambian en función de un parámetro de control, en este caso, \( r \). Este diagrama es esencial para comprender cómo pequeñas variaciones en \( r \) pueden desencadenar transiciones de comportamientos estables a caóticos.
Al generar el diagrama de bifurcación para los mapas de Carpa y Logístico, se observa cómo, a medida que \( r \) aumenta, el sistema puede bifurcarse en múltiples puntos fijos o ciclos, y eventualmente exhibir comportamiento caótico. Este fenómeno, conocido como bifurcación de periodos, ilustra la sensibilidad a las condiciones iniciales y la complejidad emergente de sistemas aparentemente simples.