Análisis cualitativo de sistemas de ecuaciones diferenciales ordinarias.

• Espacio de Fase del sistema, mostrando tanto el campo vectorial como las trayectorias correspondientes a diferentes condiciones iniciales.

  Desde un punto de vista matemático, consideremos un sistema autónomo de ecuaciones diferenciales ordinarias en \(\mathbb{R}^n\):

  \[ \frac{d\mathbf{x}}{dt} = \mathbf{f}(\mathbf{x}), \] donde \(\mathbf{x} = (x_1, x_2, \ldots, x_n) \in \mathbb{R}^n\) representa el estado del sistema y \(\mathbf{f}:\mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n\) es una función vectorial suficientemente regular (por ejemplo, continua y con derivadas continuas).

  El espacio de fases es justamente \(\mathbb{R}^n\), y cada punto \(\mathbf{x}\) en él corresponde a un estado completo del sistema. Las soluciones \(\mathbf{x}(t)\) del sistema definen trayectorias en el espacio de fases, ilustrando cómo evoluciona el estado a lo largo del tiempo.

• Puntos de equilibrio (puntos fijos) mediante el método de Runge-Kutta, facilitando el estudio del comportamiento a largo plazo del sistema.

  Un punto fijo (o punto de equilibrio) \(\mathbf{x}^*\) es aquel en el que la dinámica se detiene, es decir:

  \[ \mathbf{f}(\mathbf{x}^*) = \mathbf{0}. \]

  En este caso, si el sistema alcanza el estado \(\mathbf{x}^*\), permanecerá en él indefinidamente, ya que la tasa de cambio es nula. El análisis de estos puntos y su estabilidad proporciona información valiosa sobre el comportamiento global del sistema, ayudando a comprender si las soluciones tienden a dichos puntos, se alejan de ellos o presentan otros tipos de comportamientos más complejos.

• Evolución temporal de las variables involucradas, lo que permite una aproximación tanto cuantitativa como cualitativa al análisis dinámico.