Las series de Fourier son una herramienta matemática que permite expresar funciones periódicas como una suma infinita de funciones seno y coseno.
Una función periódica \(f(x)\) con periodo \(T\) puede representarse mediante una serie de Fourier en su forma general como:
\[ f(x) = \sum_{k=0}^{\infty} \left( a_k \cos\left(\frac{2\pi k x}{T}\right) + b_k \sin\left(\frac{2\pi k x}{T}\right) \right), \]
donde los coeficientes \(a_k\) y \(b_k\) se calculan como:
- \(a_0 = \frac{1}{T} \int_{0}^{T} f(x)\,dx\) (componente promedio).
- \(a_k = \frac{2}{T} \int_{0}^{T} f(x) \cos\left(\frac{2\pi k x}{T}\right)\,dx\), para \(k \geq 1\).
- \(b_k = \frac{2}{T} \int_{0}^{T} f(x) \sin\left(\frac{2\pi k x}{T}\right)\,dx\), para \(k \geq 1\).
La suma comienza con \(k=0\), donde el término \(a_0\) representa la componente promedio (o término constante) de la función, mientras que los términos con \(k \geq 1\) corresponden a las frecuencias armónicas.
Las series de Fourier permiten descomponer una función en términos de sus componentes armónicas, facilitando el análisis en el dominio de la frecuencia. Esta herramienta es esencial en áreas como el procesamiento de señales, acústica, resolución de ecuaciones diferenciales y más.