El Conjunto de Cantor es un conjunto fractal introducido por el matemático alemán Georg Cantor en 1883. Se construye a partir de un segmento de longitud 1 (generalmente se toma el intervalo [0, 1]) y, de manera recursiva, se van eliminando los tercios centrales de cada segmento restante.
- Construcción (algorítmica): Inicia con el intervalo [0, 1]. En el primer paso, se elimina el tercio central (1/3, 2/3), quedando dos segmentos: [0, 1/3] y [2/3, 1]. En el siguiente paso, se hace lo mismo con cada uno de los segmentos restantes, y así sucesivamente.
- Dimensión fractal: Aunque visualmente va quedando un conjunto “muy delgado” (infinitos puntos), matemáticamente se demuestra que su dimensión de Hausdorff es \(\displaystyle \frac{\ln 2}{\ln 3}\), aproximadamente 0.6309.
- Medida de Lebesgue: Tras eliminar infinitos tercios, la medida (longitud) total del conjunto resultante es 0. Es decir, ocupa “cero espacio” en la recta.
- Cardinalidad: Pese a que su medida es 0, sorprendentemente el Conjunto de Cantor contiene infinitos puntos; de hecho, tiene la misma cardinalidad que el intervalo [0, 1].
Este ejemplo computacional te permite ver “paso a paso” cómo se va construyendo el Conjunto de Cantor, removiendo el tercio central en cada iteración. Si avanzas hasta muchas iteraciones, verás el caracter fractal de la figura.