Comparación de Estimadores de Efectos Fijos y Efectos Aleatorios

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Modelo con estructura de panel

$$ y_{it} = \beta x_{it} + \alpha_i + u_{it} $$

Donde:

  • \( y_{it} \): Variable dependiente para el individuo \( i \) en el período \( t \).
  • \( \alpha_i \): Efecto idiosincrático del individuo \( i \).
  • \( \beta_k \): Coeficiente de la covariable \( x_{itk} \).
  • \( u_{it} \): Término de error.

El modelo para estimar los \( \beta_k \), va a depender de la relación que exista entre las co-variables del modelo, \( x_{itk} \), y el término idiosincrático, \( \alpha_i \). Si \( \alpha_i \) y \( x_{itk} \) no están correlacionadas podemos utilizar MCO-Agregados (Pool-OLS). Sin embargo, esto genera un estimador que, si bien es insesgado y consistente, no es eficiente, ya que la matriz de varianzas-covarianzas del término \( v_{it} = \alpha_i + u_{it} \) no es una matriz diagonal. Por el contrario, $$ E(\mathbf{v}_i \mathbf{v}_i') = \Omega = \left[ \begin{array}{cccc} \sigma^2_u+\sigma^2_c & \sigma^2_c & \cdots & \sigma^2_c \\ \sigma^2_c & \sigma^2_u+\sigma^2_c & \cdots & \vdots \\ \vdots & & \ddots & \sigma^2_c \\ \sigma^2_c & & & \sigma^2_u+\sigma^2_c \\ \end{array} \right] $$ donde, \( Var(\alpha_i) = \sigma^2_c \), \( Var(u_{it}) = \sigma^2_u \) y \( \mathbf{v}_i' = [v_{i1}, v_{i2}, \cdots, v_{iT}] \) es un vector fila de dimensión \( 1\times T \).

Teniendo en cuenta esto, el mejor estimador es uno que permita capturar esta estructura en la matriz de covarianza. En este caso los MCG, a los que la literatura suele llamar estimador por efectos aleatorios.

Ahora bien, si \( \alpha_i \) y \( x_{itk} \) están correlacionadas, entonces, la estimación por efecto aleatorio tendrá un sesgo. En este caso, una forma simple de estimar los coeficientes \( \beta_k \) es "quitando" el coeficiente idiosincrático. Una forma es considerar el componente como un elemento constante, e incorporarlo como un parámetro más de estimación. Esto es lo que conocemos como el estimador por efectos fijos.

Estimación por Efectos Aleatorios (RE)

El procedimiento de estimación por RE trabaja asumiendo que los efectos individuales \( \alpha_i \) son variables aleatorias, pero que no están correlacionados con las covariables:

$$ Cov[\alpha_i , x_{it}] = 0. $$

$$ y_{it} = \beta x_{it} + \underset{v_{it}}{\underbrace{\alpha_i + u_{it}}}. $$

El estimador de EA se obtiene a través de la estimación de Mínimos Cuadrados Pooled (Pooled OLS), sobre los datos centrados, bajo la suposición de que:

$$ \bar{y}_{it} = y_{it} - \bar{y}_{i.}, ~ \bar{x}_{it} = x_{it} - \bar{x}_{i.}, $$ donde, $$ \bar{y}_{i.} = \frac{1}{T}\sum_{t = 1}^{T} y_{it}, \quad \bar{x}_{i.} = \frac{1}{T}\sum_{t = 1}^{T} x_{it}. $$

El estimador se calcula como:

$$ \hat{\beta}_{RE} = \frac{\sum_{i=1}^N \sum_{t=1}^T \bar{x}_{it} \bar{y}_{it}}{\sum_{i=1}^N \sum_{t=1}^T \bar{x}_{it}^2} $$

Estimación por Efectos Fijos (FE)

El procedimiento para estimar por Efectos Fijos permite que \( Cov[\alpha_i , x_{it}] \neq 0 \). Bajo esta especificación, el procedimiento incorpora el término como un parámetro adicional para estimar.

El estimador de Efectos Fijos se obtiene mediante la descentración de los datos y se calcula como:

$$ \hat{\beta}_{FE} = \frac{\sum_{i=1}^N \sum_{t=1}^T (x_{it} - \bar{x}_i)(y_{it} - \bar{y}_i)}{\sum_{i=1}^N \sum_{t=1}^T (x_{it} - \bar{x}_i)^2}. $$