En estadística, las propiedades de los estimadores son fundamentales para evaluar su desempeño al inferir parámetros poblacionales. Dos de las propiedades más importantes son el sesgo y la consistencia.
Sesgo
El sesgo mide la diferencia sistemática entre el valor esperado del estimador y el verdadero valor del parámetro que se desea estimar. Matemáticamente, el sesgo de un estimador \( \hat{\theta} \) se define como: \[ \text{Sesgo}(\hat{\theta}) = \mathbb{E}[\hat{\theta}] - \theta, \] donde \( \mathbb{E}[\hat{\theta}] \) es el valor esperado del estimador y \( \theta \) es el valor verdadero del parámetro. Un estimador es insesgado si \( \text{Sesgo}(\hat{\theta}) = 0\). Si existe un sesgo distinto de cero, el estimador subestima o sobreestima sistemáticamente el valor del parámetro.
Consistencia
Un estimador es consistente si, a medida que el tamaño de la muestra aumenta, el estimador converge en probabilidad hacia el verdadero valor del parámetro. Esto significa que para cualquier \( \epsilon > 0\), \[ \lim_{n \to \infty} P(|\hat{\theta}_n - \theta| > \epsilon) = 0, \] donde \( \hat{\theta}_n \) es el estimador basado en una muestra de tamaño \( n \) . La consistencia implica que, con suficiente información (es decir, una muestra suficientemente grande), el estimador se vuelve arbitrariamente cercano al valor verdadero.
Diferencia entre Sesgo y Consistencia
La principal diferencia entre estas dos propiedades radica en su naturaleza. El sesgo evalúa el desempeño de un estimador en muestras de tamaño finito, midiendo si existe un error sistemático en la estimación. Por otro lado, la consistencia evalúa el comportamiento del estimador en el límite, cuando el tamaño de la muestra tiende a infinito. Un estimador puede ser consistente y estar sesgado, siempre que el sesgo disminuya a medida que el tamaño de la muestra aumenta. Por ejemplo, el estimador de la varianza muestral sin corregir: $$\hat{\sigma}^2 = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n (X_i - \bar{X})^2$$ (biased sample variance) es sesgado, pero consistente, ya que el sesgo desaparece cuando \(n \to \infty \).